Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.

Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Вот картинка:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Формулируем:

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример .

Пусть нам дан правильный тетраэдр.

Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.

Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

• Если, то проходит через перпендикуляр к.

• Если проходит через перпендикуляр к, то.

(естественно, здесь и - плоскости).

Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

И пишем ответ: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Мы постоянно видим, что перпендикуляры к одной и той же плоскости параллельны. Например, вертикальные отрезки параллельны между собой. Эти отрезки могут представляться параллельно стоящими столбами или мачтами, стволами стройных сосен в корабельном лесу, колоннами зданий музея (рис. 84) или вертикальными опорами моста и т. д.

Рис. 84

Эта изящная геометрия выражается в теореме, которую мы сейчас докажем.

8.1 Параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости

Доказательство. Пусть две прямые а и b перпендикулярны плоскости а и пересекают её соответственно в точках А и В (рис. 85). Проведём через прямую а и точку В плоскость р и покажем, что прямая b также лежит в плоскости β.

Рис. 85

В плоскости а возьмём отрезок MN, перпендикулярный отрезку АВ и имеющий точку А своей серединой. Так как AM = AN и АВ ⊥ MN, то ВМ = BN.

Возьмём на прямой b любую точку С ≠ В и проведём отрезки СA, CM, CN. Поскольку b ⊥ a, то треугольники СВМ и CBN прямоугольные. Они равны, так как имеют общий катет СВ и равные катеты ВМ и BN. Поэтому CM = CN, т. е. треугольник CMN равнобедренный. Его медиана СА является также его высотой, т. е. СA ⊥ MN.

Итак, три прямые, проходящие через точку А, - АС, АВ и а - перпендикулярны прямой MN. По теореме о плоскости перпендикуляров (п. 7.2) они лежат в одной плоскости - плоскости β, которая проходит через прямые АВ и а.

Поскольку прямая АС лежит в плоскости β, то точка С ∈ β. Значит, прямая b лежит в плоскости β (как и прямая а). Но в плоскости β прямые а и b перпендикулярны одной и той же прямой АВ (так как a ⊥ α, то b ⊥ α и прямая АВ лежит в α). Поэтому b||а.

Доказанная теорема является признаком параллельности прямых в пространстве.

8.2 Параллель к перпендикуляру

В этом пункте мы докажем теорему, обратную теореме о параллельности перпендикуляров.

Доказательство. Пусть две прямые а и b параллельны и а перпендикулярна плоскости а (рис. 86). Прямая b пересекает плоскость α в некоторой точке В (по лемме пункта 3.3). Имеются две возможности:

1. b ⊥ α;
2. b не перпендикулярна α.

Рис. 86

Предположим, что выполняется вторая. Тогда проведём через точку В прямую с ⊥ α (задача п. 7.3). По теореме о параллельности перпендикуляров с||α. Получилось, что через точку В проходят две прямые, параллельные прямой а, что невозможно.

Итак, b ⊥ α.

Теорема о параллели к перпендикуляру является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие признаки параллельности прямых вы узнали?
2. Какие признаки перпендикулярности прямой и плоскости вам известны теперь?

ГЕОМЕТРИЯ
Планы-конспекты уроков для 10 классов

Тема. Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой

Цель урока: формирование знаний учащихся о свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.

Оборудование: стереометрический набор, схема «Свойства прямо и плоскости, перпендикулярных между собой» (с. 116).

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Коллективное обсуждение решения задачи № 10.

2. Математический диктант.

Дано изображение куба: вариант 1 - рис. 151, вариант 2 - рис. 152.

Пользуясь изображением, запишите:

1) плоскость, которая проходит через точку М прямой AM и перпендикулярна к ней; (2 балла)

2) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку D; (2 балла)

3) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку N; (2 балла)

4) плоскость, которая перпендикулярна к прямой BD; (2 балла)

5) прямые, перпендикулярные к плоскости АМС; (2 балла)

6) плоскости, которые перпендикулярны к прямой DC. (2 балла)

Вариант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (АСМ); 5) BD и KN; 6) (ADK) и (BCL).

Вариант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) и (ADM).

II. Восприятие и осознание нового материала

Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой

Теорема 1.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.

Доведение

Пусть а1 || а2 и a1α. Докажем, что αа2 (рис. 153). Точки А1 и А2 - точки пересечения а1 и а2 с плоскостью α.

В плоскости α через точку А2 проведем произвольную прямую х2, а через точку А1 - прямую х1 такое, что х1 || х2. Поскольку a1 || a2, x1 || x2 и а1х1, то по теореме 3.1 а2х2. Поскольку х2 выбрана произвольно в плоскости α, то а2α.

Теорема 2.

Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то данные прямые параллельны.

Доведение

Пусть aα, b α . Докажем, что а || b (рис. 154). Предположим, что аb . Тогда через точку С прямой b проведем b 1 , параллельную а. А посколькуα , то и b1α по доказанной теореме, а по условию bα . Если точки А и В - точки пересечения прямых b 1 и b с плоскостью α , то из предположения следует, что в треугольнике A = В = 90°, что не может быть. Следовательно, а || b.

Решение задач

1. Определите вид четырехугольника AA 1B 1B если:

а) АА1α ; АА1 || ВВ1; Аα , Вα ; AA 1 ≠ ВВ1 (рис. 155);

б) АА1α ; ВВ1α ; α , Вα (рис. 156);

в) α ; α ; АА1α ; ВВ1α ; АА1 = ВВ1 (рис. 156).

2. Задача № 12 из учебника (с. 35).

3. Задача № 13 из учебника (с. 35).

4. Задача № 16 из учебника (с. 35).

Теорема 3.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и ко второй.

Доведение

Пусть α || β , аα . Докажем, что α β . (рис. 157). Пусть точки А и В - точки пересечения прямой а с плоскостями α и β . В плоскости β проведем через точку В произвольную прямую b . Через прямую b и точку А проведем плоскость γ , которая пересекает α по прямой с, причем с || b . А посколькуα , то ас (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Так ас, b || с и а, b , с лежат в γ , то аb . Учитывая, что b - произвольная прямая плоскости β , имеем аβ .

Теорема 4.

Если две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, то они параллельны.

Доведение

Пусть α а β а, докажем, что α || β (рис. 158). Пусть точки А и В - точки пересечения прямой а с плоскостями α и β . Предположим, что α β . Возьмем точку С на прямой пересечения плоскостей α и β . Са, ибо в противном случае через точку С проходили бы две различные плоскости α и β , перпендикулярные к прямой а, что невозможно. Проведем плоскость γ через точку С и прямую а, эта плоскость пересекает α и β по прямым АС и ВС соответственно. А посколькуα , то аАС, аналогично аВС. Следовательно, в плоскости α через точку С проходят две различные прямые АС и ВС, перпендикулярные к прямой а, что невозможно. Следовательно, α || β .

Решение задач

1. Пусть ABCD - прямоугольник, BSАВ, AMАВ (рис. 159). Как расположены плоскости AMD и BSC?

2. В1β ; АА1α , АА1β ; B В1 || АА1; АА1 = 12 cm, A1B = 13 см (рис. 160). Найти АВ.

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.
Вначале дадим определение двух перпендикулярных прямых в пространстве и их обозначение. Рассмотрим и докажем лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой. Далее дадим определение прямой, перпендикулярной к плоскости, и рассмотрим свойство такой прямой, при этом вспомнив взаимное расположение прямой и плоскости. Далее докажем прямую и обратную теорему о двух параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости.
В конце урока решим две задачи на перпендикулярность прямых в параллелепипеде и тетраэдре.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости .

Определение . Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение . .

Рассмотрим прямые а и b . Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провест а, и прямую , параллельную прямойb . Прямые и пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство :

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с ,причем . Нужно доказать, что .

Возьмем произвольную точку М . Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая параллельна прямой а по построению. Значит, прямые и b параллельны.

Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с - это угол между прямыми и, то есть угол АМС , равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Определение . Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение. .

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 5, 6, 7 стр. 54

2. Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.

3. Равные стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны некоторой плоскости. Определите вид четырехугольника.

4. Сторона треугольника перпендикулярна некоторой прямой а. Докажите, что одна из средних линий треугольника перпендикулярна прямой а .

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .